ژانویه28

انتگرال‌گیری به روش جز به جز

نوشته‌ شده در بدست
انتگرال‌گیری به روش جز به جز

روش  انتگرال‌گیری جز به جز (Integration by Parts) روشی است که به وسیله‌ی آن می‌توان بسیاری از انتگرال‌هایی را که با استفاده از فرمول‌های رایج قابل حل نیستند، حساب کرد.

این روش خصوصا در مواقعی کاربردی است که تابعی که می‌خواهیم از آن انتگرال بگیریم، حاصلضرب یک تابع جبری و یک تابع مثلثاتی، یا حاصلضرب یک تابع جبری و یک تابع لگاریتمی باشد مانند نمونه‌های زیر:

\int x \ ln(x) \ dx

\int x^2\ e^x\ dx

\int e^x\ sin(x)\ dx

فرمول روش جز به جز به این صورت است:

اگر توابع u و v نسبت به x مشتق‌پذیر باشند، آنگاه:

\int u \ dv=uv-\int\ v\ du

اثبات:

این فرمول با استفاده از قانون «مشتق حاصلضرب» بدست می‌آید:

\frac{d(uv)}{dx}=u\ \frac{dv}{dx}+v\ \frac{du}{dx}

اگر این فرمول را بازآرایی کنیم داریم:

u\ \frac{dv}{dx}= \frac{d}{dx} (uv)-v\ \frac{du}{dx}

که با انتگرال‌گیری از آن نسبت به x فرمول انتگرال‌گیری جز به جز حاصل خواهد شد.

اساس کار این فرمول آن است که یک انتگرال داده شده را به انتگرال دیگری تبدیل می‌کند. اگر u و dv مناسب اختیار شوند، انتگرال جدید ممکن است ساده‌تر از انتگرال اول باشد.

با توجه به اینکه انتخاب u و dv بسیار مهم است، هنگام انتخاب آنها توصیه‌های زیر می‌تواند به انتخاب سریعتر و بهتر کمک کند:

  1. dv را معمولا باید بخش پیچیده‌تر تابع مورد انتگرال‌گیری که به وسیله‌ی فرمول‌های اساسی انتگرال قابل محاسبه باشد، در نظر گرفت.
  2. u را بخشی از تابع مورد انتگرال در نظر می‌گیرند که مشتقش ساده‌تر از v است.

مثال:

\int x\ sin(x)\ dx=?

حل:

u=x و dv=sin(x)dx

du=dx و v=\int sin(x)dx=-cos(x)

\int x\ sin(x)dx=\int udv=

uv-\int vdu=-x\ cos(x)+\int cos(x)dx=-x\ cos(x)+sin(x)+C

تذکر:

هنگام محاسبه انتگرال به روش جز به جز، u و dv باید به گونه‌ای انتخاب شوند که انتگرال جدید ساده‌تر از انتگرال اصلی باشد. برای نمونه اگر فرض می‌کردیم که:

u=sin(x) و dv=xdx

آنگاه:

du=cos(x)dx و v=\int xdx=x^2/2

و روش جز به جز به انتگرال زیر منتهی می‌شد:

\int x sin(x)dx=\int udv=

uv-\int v du=\frac{ x^2}{2} sin(x)-\int \frac{x^2}{2} cos(x)dx

و مشاهده می‌شود که با این کار انتگرال جدید عملا پیچیده‌تر از انتگرال اصلی است.

ارائه‌ی یک روش ساده برای انتخاب u و v عملا کاری بسیار مشکل است، با وجود این دستور‌العمل‌های کلی‌ای وجود دارند؛ مثلا: «اگر در انتگرال اصلی x^n وجود داشت، نباید dv را x^n dx گرفت»، زیرا در این صورت توان x پس از اعمال روش جز به جز، بیشتر می‌شود و انتگرال به دست آمده مشکل‌تر از قبلی خواهد بود.

تذکر:

گاهی برای حل یک انتگرال لازم می‌شود چندین بار از روش جز به جز استفاده کنیم.

مثال:

\int x^2 cos(x) dx= x^2 sin(x)-\int 2x\ sin(x)\ dx

که لازم است برای جمله‌ی دوم، همانند مثال قبل، از روش جز به جز استفاده شود.

در پایین این صفحه چند مثال دیگر به روش جز به جز حل شده است (زبان انگلیسی)، روی لینک answer کلیک کنید تا جواب‌ها را مشاهده نمایید.

یک پاسخ »

    • ∫cos(2x) dx / sin^3(x)
      = ∫[1 - 2sin^2(x) ]dx /sin^3(x)
      = ∫dx/ sin^3(x) – 2 ∫ sin^2(x) dx / sin^3(x)
      = ∫csc^3(x) – 2∫ csc(x) dx —————–(1)

      برای پیدا کردن جواب جمله‌ی csc^3(x) dx از انتگرال جز به جز استفاده می‌کنیم:

      ∫csc^3(x) dx = ∫csc(x) csc^2(x) dx

      u = csc(x) dxdu = – csc(x) cot(x)
      dv = csc^2(x) dxv = -cot(x)

      ∫ csc^3(x) dx = – csc(x)cot(x) – ∫ csc(x) cot^2(x) dx
      = – csc(x) cot(x) – ∫ csc(x) (cscc^2(x) – 1) dx
      ∫ csc^3(x) dx = – csc(x) cot(x) – ∫ csc^3(x) + ∫ csc(x) dx
      2∫ csc^3(x) dx = – csc(x) cot(x) + ∫ csc(x) dx
      = ∫ csc^3(x) dx = – (1/2)csc(x) cot(x) +(1/2) ∫ csc(x) dx

      و این قسمت را در معادله‌ی (۱) جایگزین می‌نماییم:

      - (1/2)csc(x) cot(x) +(1/2) ∫ csc(x) dx – 2∫ csc(x) dx
      = – (1/2)csc(x) cot(x) – 3/2∫ csc(x) dx
      = – (1/2)csc(x) cot(x) + (3/2) ln | csc(x) + cot(x) | + C

      و اگه می‌خواین بدونین که چطوری انتگرال کسکانت ایکس رو محاسبه کردیم، می‌تونین به اینجا مراجعه کنین.

      پاسخ ↓

    • اگر:
      u=ln sin x
      dv=1/cosx dx
      du=cosx/sinx dx
      v=ln(secx+tanx)
      آنگاه:
      ∫(ln sinx)/cosx dx =ln(secx+tanx)*ln sin x-∫ln(secx+tanx)(cosx/sinx) dx
      (که به انتگرالی سخت‌تر می‌رسیم)
      اما اگر:
      dv=lnsinx
      u=cosx
      آنگاه باز هم نمی‌توان به جواب رسید زیرا نمی‌توان از dv انتگرال گرفت. (روشی برای پیدا کردن انتگرال ln u نداریم)
      بنابراین این سوال از طریق انتگرال جز به جز قابل حل نیست.
      تنها روش حلی که به نظر می‌رسد، استفاده از سری‌های نامحدود و توابع ویژه برای بسط دادن انتگرال است.
      پاسخ ↓

  10. بازتاب: انتگرال‌گیری به روش تغییر متغیر « دالبا

پاسخی بگذارید

در پایین مشخصات خود را پر کنید یا برای ورود روی شمایل‌ها کلیک نمایید:

Gravatar
نشان‌وارهٔ وردپرس.کام

شما در حال بیان دیدگاه با حساب کاربری WordPress.com خود هستید. ( بیرون رفتن / تغییر دادن )

تصویر توییتر

شما در حال بیان دیدگاه با حساب کاربری Twitter خود هستید. ( بیرون رفتن / تغییر دادن )

عکس فیسبوک

شما در حال بیان دیدگاه با حساب کاربری Facebook خود هستید. ( بیرون رفتن / تغییر دادن )

لغو

درحال اتصال به %s