بایگانی دسته‌ها: ریاضیات

دسامبر7

انتگرال‌گیری به روش تغییر متغیر

نوشته‌ شده در بدست
انتگرال‌گیری به روش تغییر متغیر

یکی از روش‌های مهم در انتگرال‌گیری، روش تغییر متغیره. امروز می‌خوایم مروری بر این روش داشته باشیم:

به طور کلی انتگرال‌گیری به روش تغییر متغیر به صورت زیر انجام میشه:

گام ۱- ابتدا باید قسمتی از تابع زیر انتگرال ‪-می‌گوییم g(x) به این قسمت-‬  را به عنوان u (متغیر جدید) انتخاب کنیم. در این مرحله معمولا بهتر است یک تابع داخلی را به عنوان u انتخاب کنیم. مثلا اگر انتگرال ما شامل عبارت \sqrt{5x+1} میشه، بهتره 5x+1 رو u بگیریم یا اگر در انتگرال با عبارت sin^3(x) رو به رو هستیم، معمولا u رو باید sin(x) در نظر بگیریم. (هر چند به قانون کلی‌ای در این زمینه وجود نداره)

گام ۲- du را محاسبه می‌کنیم.

گام ۳- با استفاده از u و du باید کاری کنیم که زیر تابع انتگرال‌گیری ما تماما بر حسب u باشد و هیچ x‌ای نداشته باشیم یعنی انتگرال را به شکل \int {f(u)du} درمی‌آوریم.

گام ۴- حاصل انتگرالی مرحله‌ی قبل را (که حالا باید ساده‌تر شده باشد) بدست می‌آوریم.

گام ۵- به جای u از خود ‪ g(x)‬ استفاده می‌کنیم و بدین ترتیب جواب نهایی بر حسب x به‌دست خواهد آمد.

حل یک مثال به صورت گام به گام:

\int {\frac{3x-1}{\sqrt{3x^2-2x+1}}dx}=?

1-

u=3x^2-2x+1

2-

du=(6x-2)dx

3-

(3x-1)dx=\frac{du}{2} \Rightarrow

?=\int {\frac{\frac{1}{2}du}{\sqrt{u}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{du}{\sqrt{u}}}

4-

\frac{1}{2}\int{\frac{du}{\sqrt{u}}}=\frac{1}{2}\int{u^{-\frac{1}{2}}du}=\sqrt{u}+C

5-

?=\sqrt{u}=\sqrt{3x^2-2x+1}

باید توجه داشت که تغییر متغیر همیشه هم راه‌گشا نیست، یا شاید لازم باشه با یک روش دیگه ترکیب بشه، یا گاهی در یک مسئله چندین بار تغییر متغیر انجام بدیم. از همه‌چیز مهمتر اینه که فرمول‌های پایه‌ای انتگرال رو به خوبی بلد باشیم. با یک مثال ساده‌ی دیگه از تغییر متغیر، به این نوشته خاتمه می‌دم:

\int_{0}^{1}{\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}dx}=?

1)1\ \ \ \ 2)\frac{2}{\sqrt{3}}\ \ \ \ 3)\sqrt{3}\ \ \ \ 4)\frac{1}{\sqrt{3}}

(یکی از تست‌های آزمون عمومی کارشناسی فنی استخدامی وزارت نیرو )

حل:

u=x^2+2x

du=(2x+2)dx

کل نکته‌ی این سوال در پیدا کردن روشی است برای نوشتن انتگرال بر حسب u که اگر این نکته‌ی ساده به ذهنتون نرسه احتمالا نمی‌تونین سوال رو حل کنین:

?=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x}}dx

=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{du}{\sqrt{u}} =\sqrt{u}_{0}^{1}

=\sqrt{x^2+2x}_{0}^{1}=\sqrt{3}

پی‌نوشت:

  • اگر با موتور جستجوی هوشمند ولفرام‌آلفا آشنا نیستین، توصیه می‌کنم (خواهش می‌کنم) همین الآن وارد سایتش بشین و آزمایشش کنین. برای مثال می‌تونین جواب سوال بالا رو به صورت مرحله به مرحله از همین موتور جستجو پیدا کنین! (شگفت انگیزه، مخصوصا اگر بدونین نرم‌افزارهای قدرتمندی مثل میپل هم نمی‌تونن اینکارو انجام بدن!)

مطالب مرتبط:

سپتامبر16

محاسبه‌ی بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک و کوچکترین مضرب مشترک

نوشته‌ شده در بدست
محاسبه‌ی بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک و کوچکترین مضرب مشترک

برای تعریف بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک، ابتدا باید دانست منظور از مقسوم‌علیه چیست. مفهوم مقسوم‌علیه به تقسیم‌پذیری اعداد باز می‌گردد:

تقسیم‌پذیری

عدد صحیح a را بر عدد صحیح و غیرصفر b تقسیم‌پذیر (بخش‌پذیر) گوییم هرگاه: عدد صحیحی مانند q یافت شود که a=bq باشد. در این صورت می‌نویسیم b|a
(این عبارت به یکی از صورت‌های زیر خوانده می‌شود:
a بر b تقسیم‌پذیر است
b یک شمارنده‌ی a است
«ب»، «آ»  را می‌شمارد
«ب»، «آ» را عاد می‌کند
a مضرب b است
b یک سازه‌ی a است
b یک عامل a است
b یک  مقسوم‌علیه a است)
و هرگاه a بر b بخش‌پذیر نباشد می‌نویسیم b∤a .

نتایج:

  • صفر بر هر عدد bای تقسیم‌پذیر است. (صفر بر خودش نیز تقسیم‌پذیر است زیرا 0=q×0)
  • اعداد ۱ و -۱ هر عدد صحیحی را می‌شمارند.
  • تقسیم‌پذیری خاصیت بازتابی دارد یعنی برای هر عدد صحیح مانند a همواره a|a
  • تقسیم‌پذیری خاصیت ترایایی دارد (یعنی اگر a|b و b|c آنگاه a|c)
  • تقسیم‌پذیری متقارن نیست (مثلا ۶|۲ اما ۲∤۶)
  • تقسیم‌پذیری پادمتقارن نیست (مثلا ۲|۲- و ۲-|۲، اما ۲-≠۲)

بنابراین یک تعریف از مقسوم‌علیه می‌تواند چنین بیان شود: مقسوم‌علیه عدد a، عددی مثل b است، به شرطی که b|a

البته یک تعریف دیگر از مقسوم‌علیه در الگوریتم تقسیم نهفته است. (منظورم این است که در الگوریتم تقسیم، مقسوم‌علیه الزاما مقسوم را نمی‌شمارد، بلکه تقسیم ممکن است باقیمانده داشته باشد. اما مقصود از مقسوم‌علیه در تعریف ب.م.م. همان تعریف نخست است یعنی مقسوم‌علیه‌ی مورد نظر است که مقسوم را بشمارد)

مقسوم‌علیه مشترک a و b عددی مثل c است که c|a و c|b.

بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م.) a و b عددی مثل d است به شرطی که کلیه‌ی مقسوم‌علیه‌های مشترک دیگر این دو عدد از d  کوچکتر باشند. می‌نویسیم:

d=(a,b)  یا  d=a∏b یا gcd(a,b)

حال که توانستیم ب.م.م. را تعریف کنیم، باید به دنبال روشی برای محاسبه‌ی آن باشیم.

روش رایج محاسبه‌ی ب.م.م. الگوریتم اقلیدس یا همان روش نردبانی خودمان است.

اساس الگوریتم اقلیدوس بر این اصل استوار است که هرگاه a=bq+r باشد، آنگاه ‫(a,b)=(b,r)‬. (یعنی بزرگترین عددی که بتواند هم a  و هم b را بشمارد، با بزرگترین عددی که بتواند هم b و هم باقیمانده‌ی تقسیم a بر b را بشمارد برابر است) (کمی به اثبات این گزاره فکر کنید)

یک مثال برای روش محاسبه‌ی ب.م.م. :

gcd(72,30)=gcd(30,12)=gcd(12,6)=6

خوب فکر می‌کنم بحث در مورد ب.م.م. کافی باشه. اگر سوال دیگه‌ای ذهنتون رو مشغول کرده حتما خودتون به دنبال جوابش برین.

اما ک.م.م. یا کوچکترین مضرب مشترک:

با توجه به چیزایی که تا حالا گفتیم تعریف ک.م.م. چندان سخت نیست: ک.م.م. دو عدد a و b، کوچکترین عددی مانند c است که هم a|c و هم b|c و چنین نمایش داده می‌شود:

[a,b]=c یا a\sqcup b=c یا lcm(a,b)=c

و شاید راحت‌ترین روش محاسبه‌ی ک.م.م. استفاده از قضیه‌ی زیر باشه:

برای هر دو عدد صحیح غیر صفر a و b داریم:

(a,b)×[a,b]=|ab|

یعنی برای محاسبه‌ی lcm کافیه gcd رو پیدا کنیم و بعد ab را بر gcd تقسیم کنیم…

مثال:

lcm(30,72)=?
gcd(30,72)=6
lcm(30,72)=30*72/gcd(30,72)=2160/6=360

یک مثال کاربردی‌تر:

من هر ۴روز یکبار با اتوبوس ساعت هفت می‌رم سر کارم، دوست‌دخترم هر ۶روز یکبار با این اتوبوس به محل کارش می‌ره. حالا من هرچند روز یکبار می‌تونم دوست‌دخترم رو در اتوبوس ببینم؟

جواب: با یه تحلیل ساده میشه فهمید که به دنبال کوچکترین مضرب مشترک ۶ و ۴ هستیم. از اونجایی که بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک این دو عدد ۲ هستش، بنابراین کوچکترین مضرب مشترکشون ۱۲ میشه. یعنی من هر ۱۲ روز یکبار با دوست‌دخترم سوار اون اتوبوس می‌شیم.

اوت31

روش شولز

نوشته‌ شده در بدست
روش شولز

ویکی‌پدیا رای‌گیری‌هایش را به روش شولز (Schulze) انجام می‌دهد.

یک روش رای‌گیری که در ۱۹۹۷ توسط مارکوس شولز معرفی شده.

این روش رای‌گیری به صورت ترجیحی می‌باشد. یعنی شما می‌توانید همزمان به چند کاندید رای بدهید و برای آنها اولویت قائل شوید.

در نهایت روش شولتز یک برنده را از میان نامزدها مشخص خواهد کرد. همچنین این روش می‌تواند برندگان را به ترتیب امتیازشان مشخص کند.

روش شولتز یک روش کاندورست (Condorcet) است، یعنی برنده‌ای که در این روش معرفی می‌شود، در مقایسه‌ی یک‌به‌یک با تک‌تک نامزدها برنده است.

در حال حاضر روش شولز پراستفاده‌ترین روش رای‌گیری کاندورست است.

با توجه به اینکه خروجی روش شولز یک فهرست مرتب‌شده از برندگان است، به راحتی می‌توان نفرات اول تا انم را از بین برندگان انتخاب کرد.

در هر برگه‌ی رای شاهد یک لیست از نامزدها هستیم که رای‌دهندگان باید آن‌ها را به ترتیب دلخواه خود مرتب کنند. مثلا به هر یک از آنها یک شماره اختصاص بدهند. (عدد ۱ برای کسی که بیشتر از همه ترجیح می‌دهد، ۲ برای دومین کسی که ترجیح می‌دهد و الخ)

اگر دو نفر باشند که رای‌دهنده برای آنها اولویت یکسانی قائل باشد می‌تواند به هردوی آنها عدد یکسانی اختصاص بدهد.

در این روش عددی که رای‌دهنده‌ به نامزدها می‌دهد مهم نیست، تنها ترتیبی که در نهایت به‌دست می‌آید مهم است. یعنی اگر از بین سه شرکت‌کننده به نفر اول ۱، به نفر دوم ۵ و به نفر سوم عدد ۱۰۰ اختصاص داده شود، درست مانند این است که به نفر اول ۲، به نفر دوم ۳ و به نفر سوم ۴ اختصاص بدهیم.

رای‌دهنده می‌تواند برخی از شرکت‌کنندگان را در فهرست مرتب‌شده‌ی خود نیاورد (به آنها عددی اختصاص ندهد)، در این صورت روش شولز چنین برداشت می‌کند که این نامزد از پایین‌ترین اولویت نسبت به دیگر نامزدها برخوردار بوده است؛ کلیه‌ی کسانی که در فهرست نباشند اولویت یکسانی خواهند داشت (پایین‌ترین اولویت).

فرض کنیم ۴۵ نفر رای دهنده به صورت زیر به نامزدهای A تا E رای بدهند:

  • 5 ACBED (یعنی ۵ نفر الویت‌بندی‌ای به صورت A > C > B > E > D داشته اند)
  • 5 ADECB
  • 8 BEDAC
  • 3 CABED
  • 7 CAEBD
  • 2 CBADE
  • 7 DCEBA
  • 8 EBADC

در روش شولز ابتدا افراد را نفر‌به‌نفر مقایسه می‌کنیم. مثلا برای مقایسه‌ی A با B داریم:

5+5+3+7 یعنی 20نفر A را بر B‌ ترجیح داده‌اند و 8+2+7+8 یعنی 25نفر B‌را بر A ترجیح داده‌اند.

اگر نتایج را به صورت یک گراف رسم کنیم به این شکل می‌رسیم:

(برای شلوغ نشدن گراف از خطوط بین A و B تنها خط قوی‌تر نمایش داده شده، و می‌توان اثبات کرد که این کار در نتیجه‌گیری تاثیری ندارد)

در روش شولز قوی‌ترین مسیر بین دو نامزد را مشخص می‌کنیم، و به این ترتیب اولویت این دو نامزد در فهرست نهایی مشخص خواهد شد. (منظور از قوی‌ترین مسیر، مسیری است که ضعیف‌ترین خط آن، از ضعیف‌ترین خط بقیه‌ی مسیرها قوی‌تر باشد)

برای مثال قوی‌ترین مسیر بین دو نامزد B و D‌ خود مسیر BD است که عدد روی آن ۳۳ می‌باشد.
اما قوی‌ترین مسیر بین نامزدهای A و C‌  خط ADC است که ضعیف‌ترین خط آن ۲۸ می‌باشد. (در حالی که روی ضعیف‌ترین خط مسیر AC عدد ۲۶ نوشته شده) (شکل‌ها در ویکی‌پدیای انگلیسی)

این مقایسه‌ی دو به دو برای کلیه‌ی نامزدها قابل انجام است.

مثلا قوی‌ترین مسیر از A به B، بیست‌وهشت نفر قدرت دارد اما قویترین مسیر از B به A بیست‌وپنج نفر. بنابراین روش شولز می‌گوید نامزد A نسبت به نامزد B‌ شایسته‌تر است.

به عنوان یک مثال دیگر قویترین مسیر E‌ به D سی‌و‌یک نفر قدرت دارد اما قویترین مسیر D به E بیست‌وچهار نفر و این یعنی نامزد E نسبت به D شایسته‌تر است.

با ادامه‌ی این مقایسه‌ها، نتیجه‌ی نهایی به این صورت حاصل خواهد شد:  E > A > C > B > D (نامزد E‌ ازهمه شایسته‌تر است)

منبع: Schulze method

اکتبر8

جزوه ریاضی عمومی ۲

نوشته‌ شده در بدست
جزوه ریاضی عمومی ۲

نام درس: ریاضی عمومی ۲

استاد: دکتر شهشانی

دانشگاه: صنعتی شریف

قالب: پی‌دی‌اف (تایپ شده)

ردیف عنوان تعداد صفحات حجم (کیلوبایت)
1 فضای حقیقی ان-بعدی 8 162
2 زیرفضاهای مستوی (۱) 8 160.4
3 زیرفضاهای مستوی (۲) 5 120.8
4 ضرب داخلی و هندسه‌ی اقلیدسی فضای حقیقی ان-بعدی (۱) 8 155.1
5 ضرب داخلی و هندسه‌ی اقلیدسی فضای حقیقی ان-بعدی (۲) 8 147.5
6 نگاشت‌های خطی (۱) 11 175.2
7 نگاشت‌های خطی (۲) 5 89.8
8 نگاشت‌های خطی (۳) 9 128.7
9 نگاشت‌های خطی (۴) 7 116.7
10 حجم و دترمینان (۱)

  • ویژگی‌های ابتدایی ضرب خارجی
 9 151.3
11 حجم و دترمینان (۲)

  • تعریف هندسی دترمینان
  • تعریف جبری دترمینان
  • سه ویژگی اساسی دترمینان برای ماتریس‌های ۲*۲ و ۳*۳
  • …
 12 199.8
12 خم‌های هموار در فضای حقیقی ان-بعدی (۱) 10 167.7
13 خم‌های هموار در فضای حقیقی ان-بعدی (۲) 6 135.6
14 خم‌های هموار در فضای حقیقی ان-بعدی (۳) 7 131.4
15 تابع‌های چندمتغیری 6 135.4
16 مجموعه‌های تراز (۱) 9 134.7
17 مجموعه‌های تراز (۲) 11 141.7
18 پیوستگی و حد (۱) 8 136.5
19 پیوستگی و حد (۲) 9 143.4
20 مشتق و تقریب خطی (۱) 7 139.7
21 مشتق و تقریب خطی (۲) 9 160.5
22 مشتق و تقریب خطی (۳) 7 141.9
23 میدان گرادیان 7 131
24 مشتق‌های پاره‌ای مرتبه‌ی بالا، قاعده‌ی زنجیره‌ای 11 133.3
25 قاعده‌ی زنجیره‌ای (۲) 6 129.9
26 مشتق‌های پاره‌ای مرتبه‌ی بالا و چندجمله‌ای تیلور 13 183.1
27 نقاط بحرانی 7 164.4
28 توابع ضمنی 10 205.2
29 قضیه‌ی تابع وارون، تعویض مختصات 5 140.4
30 بهینه‌سازی (۱) 8 157.7
31 بهینه‌سازی (۲) 7 156.1
32 انتگرال چندگانه 8 171.6
33 محاسبه انتگرال چندگانه 8 143.8
34 تعویض متغیر در انتگرال چندگانه 10 198.8
35 رویه‌های هموار 8 144.6
36 انتگرال روی خم و رویه (۱) 8 161.3
37 انتگرال روی خم و رویه (۲) 7 168.4
38 انتگرال روی خم و رویه (۳) 6 126.4
39 آنالیز برداری (۱) 6 146.1
40 آنالیز برداری (۲) 11 191.9
41 آنالیز برداری (۳) 10 179.8
مجموع: 335 6.1MB

برای بارگیری هر فصل از پیوند موجود روی عنوان آن فصل استفاده کنید.

اکتبر4

جزوه ریاضی عمومی ۱

نوشته‌ شده در بدست
جزوه ریاضی عمومی ۱

نام درس: ریاضی عمومی ۱

استاد: دکتر شهشانی

دانشگاه: صنعتی شریف

قالب: پی‌دی‌اف (تایپ شده)

ردیف عنوان فصل تعداد صفحات حجم (کیلوبایت)
1 اعداد حقیقی (۱) 8 153.9
2 اعداد حقیقی (۲) 8 158.8
3 اعداد مختلط (۱)

  • مقدمه
  • معرفی اعداد مختلط
 1 183.5
4 اعداد مختلط (۲)

  • کاربرد (۱): اتحادهای مثلثاتی
  • کاربرد (۲): ریشه انم اعداد مختلط
 8 128.7
5 اعداد مختلط و تبدیلات صفحه 6 128.7
6 دنباله‌ی عددی و سری عددی (۱) 10 173
7 دنباله‌ی عددی و سری عددی (۲) 9 178.6
8 دنباله عددی و سری عددی (۳) 7 146.7
9 پایداری محاسبه 11 163.2
10 تابع‌های پیوسته (مثال‌های ابتدایی) 6 117.9
11 خواص توابع پیوسته (۱) 9 161.4
12 خواص توابع پیوسته (۲) 7 135.4
13 مفهوم حد 9 164.5
14 مفهوم مشتق 11 203.9
15 نتایج اولیه‌ی مشتق‌پذیری 10 155.9
16 قاعده‌ی زنجیره‌ای 11 161.2
17 تقریب خطی 10 155.9
18 نمودار تابع و کاربردهای آن 10 156.1
19 بهینه‌سازی 10 161.9
20 چندجمله‌ای تیلور و تقریب‌های مرتبه‌ی بالا 15 192.1
21 انتگرال یک متغیری (۱) 8 164.5
22 انتگرال یک متغیری (۲) 9 172.8
23 قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال 7 147.1
24 دو قضیه‌ی اساسی

  • قاعده‌ی انتگرال جز به جز
  • فرمول تعویض متغیر انتگرال
 8 161.1
25 انتگرال توابع گویا 8 150.3
26 محاسبه‌ی تقریبی انتگرال 6 135.1
27 انتگرال‌های ناسره 7 154.5
28 سری تیلور و سری توانی (۱) 11 172.5
29 سری تیلور و سری توانی (۲) 8 135.1
30 سری تیلور و سری توانی (۳) 7 128.9
31 سری فوریه 8 140.8
مجموع: 263 4.7MB

برای بارگیری هر فصل از پیوند موجود روی عنوان آن فصل استفاده کنید.